Hevreka! Mit o geniju
Hevreka! Že vem! Ničle karakterističnega polinoma matrike bodo predstavljale natanko kompleksne lastne vrednosti, iz njihove večkratnosti pa lahko razberemo število pojavitev te vrednosti na diagonali njene Jordanove matrike.
Če so se vam ob tolikšni količini matematičnih izrazov postavile kocine pokonci in se počutite v nevarnosti, vas lahko pomirimo: razloga za skrb ni. Ta oddaja je namreč za vse. Kot bi morala biti tudi matematika. Poškropite zato svoj obraz z manjšo količino hladne vode ali pa se nežno potrepljajte po licu, češ, »varna sem«, in prisluhnite znanstvenemu komentarju, v katerem razbijamo mit o genialcu.
Matematična genialnost je v dobi popularne kulture postala neke vrste arhetip. Filmi, kot sta Dokaz in Čudoviti um, nam predstavijo idejo matematike kot področja, ki ga napredujejo izjemni posamezniki. Ti pogosto vidijo naravnost skozi matematične probleme, s katerimi do tedaj nihče ni imel sreče, in jih elegantno razrešijo. Pripoved, čeprav morda privlačna, vsekakor ne predstavi dejanske slike o napredku na matematičnem področju. Še več, mit deluje kot ovira nadobudnim matematikom med študijem ali pa ljudi odvrača od nje že v osnovnih in srednjih šolah.
Opredelimo natančneje vprašanje današnje oddaje s pogledom na zgodbo Willa iz filma Dobri Will Hunting. Will je 20-letni delinkvent. V svojem prostem času se pretepa na ulicah, obiskuje okoliške lokale in bere. Kot hišnik na MIT-ju na skrivaj reši dva problema, ki ju je na tabli pustil profesor matematike. Ta Willa vzame pod svoje okrilje pod pogojem, da obiskuje psihoterapijo in se spoprime s svojo težavno preteklostjo. Na vrhuncu filma se Will z mentorjem spre ter mu zaničljivo in vzvišeno predstavi rešitev odprtega matematičnega problema, s popolnim nezanimanjem za konvencionalen matematični jezik. Iz mentorja se celo norčuje, češ, morda imaš res doktorat, a jaz sem genij. Papirje z dokazom zažge in zapusti prostor.
Will v filmu ni prikazan kot nekdo, ki matematično pismenost postopoma gradi, bere, se moti, sodeluje, posluša seminarje, preverja dokaze in postopoma vstopa v skupnost znanja. Nasprotno, matematika iz njega vselej skoraj spontano izbruhne. Problem, ki ga drugi rešujejo v institucionalnem, univerzitetnem prostoru, on reši ponoči, sam, mimogrede in kjerkoli, tudi na hodniku. Genija naj bi gledalci tu prepoznali prav po tem, da ne potrebuje procesa, ki naj bi ga potrebovali vsi drugi.
Takšne upodobitve pa niso redke. S podobnimi figurami in narativi smo seznanjeni praktično povsod. Od filmov in knjig pa do preveč poenostavljenih zgodovinskih lekcij o znanstvenih odkritjih. Za lažjo nadaljnjo analizo lahko mit o geniju zdaj strnemo v tri točke. Prvič: področje matematike razvijajo predvsem briljantni samotarji. Drugič: iz teh matematikov dokazi kar izbruhnejo. Tretjič: matematična inteligenca posameznika je fiksna sposobnost, ki jo imaš ali pa je pač nimaš.
Točka ena: področje matematike razvijajo predvsem briljantni samotarji
Spomnimo se znane oblike Pitagorovega izreka: a na kvadrat plus b na kvadrat je c na kvadrat. Potenco dve v Pitagorovem izreku zdaj zamenjajmo s poljubnim večjim naravnim številom. Fermatov zadnji izrek nam pravi, da ne obstajajo naravna števila a, b in c, ki bi rešila takšno enačbo. Izrek izvira iz leta 1637, ko je Pierre de Fermat na rob Diofantove knjige zapisal, da ima za trditev čudovit dokaz, a da je na strani premalo prostora. Njegovega dokaza nikoli nismo našli, problem pa je še več kot tristo let ostal nerazrešen.
V 18. stoletju je Leonhard Euler uspel dokazati poseben primer za tretjo potenco. Več matematikov je nato neodvisno dokazalo tudi primere za eksponente v vrednostih 5 in 7. V 19. stoletju je pomemben preboj prispevala Sophie Germain, ki je razvila metodo za dokaz Fermatovega zadnjega izreka za veliko število eksponentov. Nekaj let kasneje je Ernst Kummer ob poskusih dokazovanja izreka razvil nova orodja algebraične teorije števil in pokazal, da problem pravzaprav odpira vrata povsem novi matematiki.
Prav to je bistveno: Fermatov zadnji izrek se ni reševal kot ena sama enačba, v katero bi nekdo dovolj dolgo gledal. Skozi 19. in 20. stoletje je postal stičišče različnih področij – od teorije števil do algebraične geometrije. V osemdesetih letih prejšnjega stoletja so Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre in Ken Ribet pokazali presenetljivo povezavo med morebitno rešitvijo Fermatove enačbe in povsem drugim svetom eliptičnih krivulj in modularnimi formami. Tako se je izkazalo, da bi dokaz nekega povsem drugega velikega izreka avtomatično pomenil tudi dokaz Fermatovega zadnjega izreka.
Ko je Andrew Wiles v devetdesetih letih prejšnjega stoletja končno prišel do dokaza, to ni bil osamljen trenutek genialnosti, ampak vrh zelo dolge zgodovine skupnega dela. Wiles je gradil na stoletjih delnih rezultatov, neuspelih poskusov in velikih teoretskih premikov, njegov dokaz pa je moral po prvi oznanitvi leta 1993 celo skozi popravek, preden je bil dokončno potrjen leta 1994. Zgodba Fermatovega zadnjega izreka je zato veliko manj zgodba o enem samem geniju in precej bolj zgodba o tem, kako matematika napreduje kolektivno – počasi, prek mnogih ljudi in pogosto po poteh, ki na začetku sploh ne delujejo povezane.
Ob tem velja omeniti še nekaj, kar mit o geniju pogosto popolnoma izpusti. Matematika danes ni samotarska dejavnost. Velika večina sodobnih matematičnih člankov ima več avtorjev, v povprečju 2,9. Poleg tega raziskovalci redno sodelujejo, razpravljajo na seminarjih, si med seboj pošiljajo ideje in osnutke dokazov. Tudi kadar je članek podpisan z enim samim imenom, skoraj nikoli ne nastane v izolaciji. Nastane v pogovoru z mentorji, kolegi in oddelkom. Matematika ni delo enega uma, ampak delo mnogih, ki se prekrivajo.
Točka dve: Iz matematičnih genijev dokazi kar bruhajo.
Astrofizičarka Julianne Dalcanton v članku »Kult genija« zapiše: »V svetu fizike je najhujše priporočilo, ki ti ga lahko napišejo, da si delaven.« Čeprav morda zveni kot kompliment, pa v krogih fizike in tudi matematike namiguje na opažanje, da oseba preprosto nima tiste briljantne žilice in mora za to pomanjkljivost kompenzirati s trdim delom. Genij bi moral po mitu napredovati brez večjih naporov, in če se ti na poti razumevanja nekje zatakne, pač nisi genij.
Terance Tao je morda najbolj znan trenutno živeči matematik. Pri devetih letih je obiskoval univerzitetna matematična predavanja, magistriral pri šestnajstih in postal samostojen profesor pri štiriindvajsetih na Univerzi v Los Angelesu. Ukvarja se predvsem s teorijo števil, harmonično analizo in parcialnimi diferencialnimi enačbami in na vseh teh področjih je veliko prispeval. Skratka, Terence Tao je po vseh današnjih standardih matematični genij. Na svojem blogu pa je Tao večkrat nasprotoval mitu o geniju. V objavah »Ali moraš biti genij, da si matematik« in »Trdo delaj« močno zavrača idejo, da je matematični napredek zgrajen na trenutkih hitrega spoznanja, tako imenovanih hevreka trenutkih. Nasprotno, napredke poganjajo dolgotrajno trdo delo, izkušnje in intuicija, ki jo delo gradi, kar je seveda značilnost vseh znanstvenih disciplin.
Terence Tao pogosto opisuje razvoj posameznikovega razumevanja matematike skozi tri obdobja. Najprej nastopi predrigorozno obdobje, v katerem znanje gradijo predvsem neformalni argumenti, ohlapna intuicija in morda nekaj mahanja z rokami. Sledi rigorozna raven, ko se naučimo pravil logičnega sklepanja in postopka formalizacije matematičnih dokazov. Šele nato dosežemo porigorozno raven, ko smo videli in dokazali že dovolj rezultatov, da lahko prosto menjamo med intuicijo, zgrajeno na preteklem delu, in natančnim dokazovanjem, ko je to potrebno. Tao dodaja, da ni nobene skrite bližnjice do matematičnega znanja, pač pa kot vsaka veščina, ki se je naučimo, zahteva veliko trdega dela, neumnih vprašanj in širjenja lastnih obzorij.
Tretjič: matematična inteligenca posameznika je fiksna sposobnost, ki jo imaš ali pa je pač nimaš.
Prav ob tem mit o matematičnem geniju deluje izjemno škodljivo. Gotovo poznate ljudi, ki so v osnovni ali pa srednji šoli sprejeli, da matematika ni zanje. Morda se v tem opisu nekateri prepoznate tudi sami. Matematika je morda najuniverzalneje zasovražen predmet. Dodaten problem pri slabem odnosu do matematike je, da se v izobraževalnem programu razvija postopoma in se nova snov pogosto gradi na stari. To pomeni, da se slabo razumevanje hitro nakopiči, kar lahko vodi do postopnega padanja ocen in posledično še večjega odpora do področja. Vzpostavi se torej nekakšna negativna povratna zanka.
Morda del tega odpora temelji prav na prepričanju, da je matematična inteligenca fiksna. Razlogom za to prepričanje lahko sledimo v začetek prejšnjega stoletja, ko je britanski psiholog Charles Spearman preučeval ocene šolarjev in ugotovil, da obstaja korelacija med ocenami pri navidezno nepovezanih predmetih. Ugotovil je, da dijaki, ki dobivajo dobre ocene pri na primer enem predmetu, pogosto dobivajo dobre ocene pri vseh. Od tod je sklepal, da mora obstajati nekakšna univerzalna mera človekove inteligence, ki jo je poimenoval g-faktor. Ideja je pravzaprav postavila temelje za nadaljnji razvoj standardiziranih testov inteligence, kot so IQ testi.
To nas pripelje nazaj k mitu o geniju. Če inteligenco razumemo kot fiksno lastnost, ki jo lahko izmerimo enkrat in za vselej, matematika hitro postane preizkus naravne danosti. Ali ti gre od rok ali pa ne. Vsaka težava, vsak napačen korak, vsako nerazumevanje se v tem okviru hitro prevede v sklep, da pač nimaš naravne danosti.
Skupina ameriških znanstvenic je leta 2007 v reviji Child development objavila članek, v katerem so spremljale učence pri prehodu v zahtevnejše šolsko obdobje in opazovale, kako njihova prepričanja o inteligenci vplivajo na uspeh pri matematiki. Učenci, ki so inteligenco razumeli kot nekaj, kar se razvija, so dosegali boljše rezultate kot tisti, ki so jo razumeli kot fiksno lastnost. V drugem delu raziskave so izvedle dodatno predavanje za del učencev, na katerem so izvedeli, da se možgani z učenjem spreminjajo in da inteligenca ni fiksna. Pri tej skupini se je pokazal boljši učni razvoj kot pri kontrolni skupini. Podobni rezultati so bili potrjeni tudi v študiji, objavljeni leta 2019 v reviji Nature.
Prav to je ključ do razumevanja problematike naše tretje točke o fiksnosti inteligence. Seveda so nekateri ljudje rojeni z boljšimi predispozicijami za določena področja ali pa odraščajo v okolju, ki bolj spodbuja pridobivanje znanja … a iz tega ne sledi, da je matematična sposobnost nekaj vnaprej določenega in nespremenljivega. Razlika med ljudmi ni v tem, kdo ima matematično žilico in kdo ne, ampak v tem, kdo vztraja z matematiko dovolj dolgo, da se lahko razvije razumevanje.
Tej lepi misli, da smo lahko z dovolj vztrajnosti vsi matematiki, je treba dodati, da sam dostop do matematične pismenosti ni enakomerno porazdeljen. Možnost, da se posameznica sploh srečuje z matematiko dovolj dolgo in poglobljeno, da znanje lahko razvije, je tesno povezana z materialnimi okoliščinami, v katerih živi. Ni naključje, da največ matematičnih prebojev pride iz okolij, ki tem pogojem zadoščajo. Zaradi poudarjanja vloge genialnosti v matematični dejavnosti lahko hitro spregledamo, kako družbena realnost določa, kdo bo imel možnost vztrajati z matematiko. To se kaže tudi pri vprašanju reprezentacije, na primer v pomanjkanju vidnih ženskih matematičark, ki bi lahko delovale kot vzornice.
////////////////////
Drage poslušalke in poslušalci, znašli smo se na koncu današnjega komentarja o mitu o geniju. Želimo, da prispevek zapustite z mislijo, da v svetu matematike ni pravih čudežev. Matematično delo je vselej natanko to, delo. Trdo delo po dolgi poti do razumevanja, polni spodrsljajev in zmot. Matematika torej ne pripada le redki peščici izbrancev, pač pa pripada vsem, ki so pripravljeni na tej poti vztrajati. Kot pa smo videli, je ta možnost močno povezana z materialnimi pogoji.
Mit o geniju je razblinil Jaka.
Dodaj komentar
Komentiraj